Атрактори и фазово пространство: каква е тайната на хаоса?

Атрактори и фазово пространство

Да предскажеш хаоса

Ефектът на пеперудата

Математиците често определят теорията на хаоса като очарователно противоречие. С нейна помощ те се опитват да предвидят поведението на системи, които на пръв поглед изглеждат напълно непредсказуеми.

Хаосът е навсякъде около нас

Наистина ли редът и хаосът са две диаметрално противоположни понятия? Възможно ли е те да съществуват едновременно? И дали редът в малък мащаб може да произведе хаос в по-голям мащаб?

Това са част от въпросите, на които учените се опитват да отговорят с помощта на теорията.

Знаете ли какво е общото между суперохладения хелий, който се използва в Големия адронен ускорител и водата, която капе бавно от някоя чешма? На пръв поглед поведението и на двете изглежда лесно предсказуемо. Ако, обаче, температурата се покачи, а вие завъртите кранчето на чешмата, резултатът ще е хаотичен – хелият ще закипи, а малките капчици ще се превърнат в мощна водна струя.

Математиците отбелязват, че преходът от ред към хаос се определя от т. нар. константа на Фейгенбаум. Истината е, че дори и да не го осъзнаваме, хаосът е навсякъде около нас, а светът, в който живеем, е много по-сложен, отколкото можем да си представим.

Може би ще се изненадате, но Слънчевата система също е хаотична. Поведението на планетите може да бъде предвидено за период от около няколкостотин милиона години. През 1887 г. френският математик Анри Поанкаре демонстрирал, че с помощта на теорията за гравитацията на Исак Нютон може да се изчисли как две планети обикалят една около друга под въздействие на взаимното си привличане, но ако се намеси трето тяло, ситуацията се променя драстично. Най-доброто, което може да се направи в такъв случай, е да се предвидят движенията им момент по момент и прогнозите да бъдат добавяни към уравненията.

Неин създател е Едуард Лоренц, който през 1961 г. открил определени аномалии, докато проверявал метеорологични доклади на компютър. Той установил нещо изненадващо – прогнозите за времето се различавали значително въз основа на малки вариации във входните данни (например, когато били използвани числа, закръглени до три десетични знака, а не до шест). Експертите смятали, че подобни малки разлики няма как да доведат до сериозна промяна в крайните резултати. Лоренц, обаче, доказал, че въздействието им всъщност е много по-голямо, отколкото се предполагало.

Обяснено най-просто, атракторът е това, към което се стреми системата, към което тя е привлечена. Математикът Иън Стюарт използва следния пример, за да опише какво означава това понятие: представете си, че сте на плаж и със себе си носите топче за пинг-понг. Ако го хвърлите в морето, то ще започне да се носи по повърхността, а ако го потопите под вода, ще изплува незабавно. Независимо от първоначалното му положение, топчето винаги ще се движи в посока към своя атрактор – водната повърхност. Това на практика означава, че може да ограничим броя на възможностите в дадена хаотична система, ако знаем нейния атрактор.

Ефектът на пеперудата може да бъде забелязан по време на игра на билярд. Колкото и да се стараете първият ви удар винаги да е еднакъв, това на практика е невъзможно. Дори и най-малката промяна в скоростта или силата, която прилагате, ще има сериозни последици и топките ще се разпръскват по различен начин всеки път. Тук, обаче, трябва да се отбележи нещо важно – законите на физиката определят много ясно начина, по който ще се придвижи всяка една от топките. Това, което изглежда като хаотично поведение, всъщност е напълно детерминистично и зависи от няколко почти незабележими промени, пише vesti.bg.

Каква е тайната на хаоса? Има ли някаква стриктна подредба, която се спотайва зад него? Отговорът се крие в т. нар. атрактори. Това са геометрични структури, които характеризират поведението във фазово пространство в продължение на дълго време. А какво представлява фазовото пространство? То е абстракция, координатите на която представляват степените на свобода на системата. При движението на махалото, например, има две степени на свобода. То е напълно определено от началната скорост на махалото и положението му.

Натрупването на споменатите вече незабележими промени в дадена система означава, че съществуват известни ограничения на прогнозите, които могат да се направят. Отвъд даден отрязък от време, те вече няма как да са точни. Пример в това отношение е метеорологията. Благодарение на съвременните технологии, можем да се доверим на прогнозите за времето през следващата седмица – или, в най-добрия случай, за следващите две седмици (за сравнение, преди половин век въпросният период бил едва 18 часа). Колкото по-дългосрочна е една прогноза, обаче, толкова по-неточна става тя.

Описана накратко, теорията на хаоса представлява дял от математиката, който разглежда как поведението на сложните динамични системи зависи от първоначалните им условия. Една от най-често използваните аналогии е тази за т. нар. ефект на пеперудата. Той обяснява как една наглед малка промяна може да окаже огромно въздействие върху цялата система. Според въпросната идея, ако пеперуда размаха своите крила в определен отрязък от време и пространство, това би създало точните условия, да речем - за образуването на мощен ураган в друга, отдалечена част на нашата планета.

Теорията на хаоса е концепция, която има широк спектър от приложения. Тя може да се отнася за всичко, което считаме за непредсказуемо – като човешката психика или фондовите пазари, например. От математическа гледна точка, хаосът може да бъде забелязан на най-неочаквани места – в траекторията на космическите ракети, океанските течения, кръвообращението и дори в музиката и изобразителното изкуство.