Борис Владимиров Велчев е  роден в София. Доцент, доктор по право. Баща му Владимир Велчев е дипломат от кариерата - бил е посланик във Великобритания и СССР.

Борис Велчев завършва средното си образование в Английската гимназия в София през 1981 година.. През 1987 г. завършва висше юридическо образование в Юридическия факултет на СУ "Св. Климент Охридски". Юридическа правоспособност придобива през 1990 г.

През периода 1988 - 1990 г. е работил като съветник в отдел "Правен" на Министерския съвет. От 1990 г. последователно е работил като асистент, старши асистент, главен асистент и доцент по наказателно право и международно наказателно право в СУ "Св. Климент Охридски", ръководител на катедра "Наказателноправни науки" във Великотърновски институт "Св. Св. Кирил и Методий".

От 1997 г. е доцент по наказателно право във Великотърновския университет "Св. Св. Кирил и Методий".

След избирането на Георги Първанов за президент на България на 18 ноември 2001 г. Борис Велчев лично е поканен от президента за юридически съветник в президентския екип. От 20 януари 2002 г. е член на новосформирания Правен съвет към президента, на който от 13 октомври 2003 г. е председател. Работи по цялостното правно осигуряване на дейността на президента.

Бил е член на Консултативния съвет по законодателство в 39-то и 40-то Народно събрание и председател на правната секция на Съюза на учените.

На 19 януари 2006 г. Борис Велчев е избран за Главен прокурор на Република България, като единствен кандидат и с одобрение 23 от 25 гласа на членовете на Висшия съдебен съвет. На 2.11.2012 г. е освободен от длъжността с указ на президента Росен Плевнелиев, заради назначаването му за конституционен съдия.

Увлича се по историята и е запален нумизмат. Владее английски и руски език