Иван Стоименов Гешев е роден на 19 декември 1970 година. Завършва висше юридическо образование във Висшия институт на Министерството на вътрешните работи през 1994 г.

След дипломирането си работи в полицията и следствието в София – като оперативен работник (1994 – 1995), помощник-следовател (1995 – 1996) и следовател (1996 – 2006).

През 2006 година Гешев става прокурор в Софийската районна прокуратура. От 2009 г. е командирован в Софийска градска прокуратура, а от 2012 г. е официално назначен там. През 2010 г. получава ранг на прокурор от ВКП/ВАП.

През юли 2016 прокурорската колегия на ВСС го избира за председател на специализираната прокуратура с 9 гласа за и 1 против след като единственият друг претендент се оттегля от конкурса.

През юли 2019 г. номинацията на Гешев идва от всичките 11 прокурори във Висшия съдебен съвет, без Гешев да има реален конкурент.

В ролята си на ръководител на специализираната прокуратура, Гешев се представя като „лицето на екипа“, работил по делото за фалита на банката. Обвинителният aĸт, внесен в съда (се състои от рекордните от над 10 000 страници, ĸaĸто и 1360 тома материали. Разпространено е и безпрецедентно „резюме“ от 155 страници, озаглавено „Oбщ поглед върху модела KTБ“.

През юли 2019 г. името на Гешев е издигнато като единствена кандидатура (към 25 юли) за нов главен прокурор на Република България след края на мандата на Сотир Цацаров. Кандидатурата му предизвиква протести в София, като една от причините за тях е изказаното му в интервю пред БНТ от 23 юли 2019 г. мнение, че „не споделя виждането, че законодателната, изпълнителната и съдебната власт трябва да са разделени“.

На 24 октомври 2019 г. Висшият съдебен съвет избира Гешев за главен прокурор.